ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ
Θέμα Α
Α1. Έστω f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f
παρουσιάζει ακρότατο στο x0 και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, να αποδείξετε ότι f ΄(x0) =0.
8 μονάδες
Α2. Να δοθεί ο ορισμός του τοπικού ελαχίστου.
2 μονάδες
Α3. Δίνεται συνάρτηση ορισμένη στο R. Πότε η ευθεία y = λx + β λέγεται ασύμπτωτη της Cf
στο -∞;
1 μονάδα
Α4. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ στο οποίο συνεχής και 2 φορές
παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του.
«Αν η f κυρτή στο Δ, τότε f ΄΄(x) >0 για κάθε εσωτερικό σημείο x στο Δ».
i) Χαρακτηρίστε την πρόταση ως Αληθή ή Ψευδή.
1 μονάδα
ii) Αν είναι αληθής να το αποδείξετε ενώ αν είναι ψευδής να αιτιολογήσετε την απάντηση σας
με κατάλληλο αντιπαράδειγμα.
3 μονάδες
Α5. Σωστό –Λάθος
i) Δίνεται συνεχής f: (α, β] →R με f΄(x) < 0 ∀ ∈ x (α, β). Τότε η f παρουσιάζει ελάχιστο στο β
το f(β).
ii) Αν η συνάρτηση f: R→R έχει πλάγια ασύμπτωτη στο +∞, τότε δεν έχει οριζόντια στο R.
iii) H εφαπτομένη της Cf μιας συνάρτησης f , σε κάθε σημείο καμπής, «διαπερνά» την Cf.
iv) Στα σημεία του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης f στα οποία η f δεν είναι συνεχής, δεν
αναζητούμε ασύμπτωτες της Cf.
v) Αν μια f κοίλη στο Δ τότε η εφαπτομένη της Cf σε κάθε σημείο του Δ, βρίσκεται κάτω από
την Cf, με εξαίρεση το σημείο επαφής.
10 μονάδες
Θέμα Β
Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e-x2 .
α) Μελετήστε την f ως προς τη μονοτονία, ακρότατα, κυρτότητα και Σημεία καμπής.
8 μονάδες
β) Ν.Δ.Ο η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον y΄y και να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της Cf
και ύστερα να την σχεδιάσετε.
6 μονάδες
γ) Έστω ορθογώνιο ΑΒΓΔ με Α, Β∈ Cf και Γ, Δ∈x΄x και Γ(x, 0) όπου x>0.
i) Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του ορθογωνίου ώστε αυτό να έχει μέγιστο
εμβαδόν.
6 μονάδες
ii) Ν.Δ.Ο υπάρχει μοναδική τετμημένη 0 (0, ) 1
2
x ∈ του σημείου Γ ώστε το ορθογώνιο ΑΒΓΔ
να είναι τετράγωνο.
5 μονάδες
Θέμα Γ
Έστω ( ) , x>0
1 x =0
x x
e
f x x
 
= 
 
και g x x ( ) ln , x>0 2 1
x
= - .
α) Ν.Δ.Ο. η f συνεχής στο 0.
7 μονάδες
β) Να μελετήσετε την f ως προς μονοτονία και ακρότατα
6 μονάδες
γ) Ν.Δ.Ο. η g(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα στο (0, +∞)
6 μονάδες
δ) Να μελετήσετε την f ως προς τη κυρτότητα και ν.δ.ο η Cf έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής.
6 μονάδες
θέμα Δ
Δίνεται συνεχής f: (0, +∞) →R με
ln
, 0< x 1
( ) 1
α , x=1
x x
f x x

 ≠
=  -
 
α) Ν.Δ.Ο. α =1
4 μονάδες
β) Ν.Δ.Ο. η f γνησίως αύξουσα και ότι το σύνολο τιμών της = (0, +∞)
4 μονάδες
γ) Ν.Δ.Ο η f αντιστρέφεται και ότι η εξίσωση f x x -1( 1) - = , έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα
(2, 3).
4 μονάδες
δ) Ν.Δ.Ο '(1) 1
2
f = και ότι η f΄ συνεχής στο x0 = 1
4 μονάδες
ε) Ν.Δ.Ο η f κοίλη.
4 μονάδες
στ) Ν.Δ.Ο ( 1)f (x) 1 f(x) 1
2
x
x - + < < ΄ + για κάθε x∈ ∞ (1, + )
5 μονάδες

Επιμέλεια θεμάτων
Χρήστος Μπασδάρας
Μαρία Μπασδάρα